Desain Rangkaian Digital AND-OR, NAND-NAND dan MUX

Artikel ini adalah catatan kuliah Sistem Digital di Program Studi Sistem Komputer, Fakultas Teknik Universitas Diponegoro. Materi diambil dari buku Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi. Situs kuliah dapat diakses di http://didik.blog.undip.ac.id/2016/02/19/tkc205-sistem-digital-2015-genap/. Artikel juga dapat diunduh dari link yang tersedia di akhir artikel.

Abstrak

Tiga implementasi rangkaian dilakukan untuk menyatakan satu fungsi logika f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7), yaitu rangkaian AND-OR, NAND-NAND dan MUX. Rangkaian NAND-NAND dan MUX merupakan yang paling efisien dengan hanya satu buah IC yang dibutuhkan. Rangkaian MUX mempunyai keunggulan berupa kecepatan yang lebih besar dan pemakaian daya operasional yang lebih kecil dibandingkan NAND.

Kata kunci: desain rangkaian digital, rangkaian AND-OR, rangkaian NAND-NAND, multiplekser, teorema ekspansi Shannon

1 Pendahuluan

Sebuah rangkaian digital hendak dirancang. Rangkaian tersebut harus menghasilkan fungsi masukan-keluaran seperti dinyatakan dalam Tabel 1. Fungsi rangkaian tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk kanonik SOP (sum of product) seperti dalam Persamaan 1. Dalam deskripsi tekstual, fungsi dapat dinyatakan bahwa rangkaian menghasilkan keluaran bernilai 1 saat masukan (x1, x2, x3) = {001, 101, 110, 111}. Masukan yang lain akan menghasilkan keluaran bernilai 0.

x1x2x3fx1x2x3f
00001000
00111011
01001101
01101111
Table 1 Fungsi masukan-keluaran rangkaian yang akan dirancang

(1)f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7)

Dari spesifikasi kebutuhan tersebut di atas, fungsi dapat diimplementasikan setidaknya dengan 3 macam rangkaian, yaitu rangkaian AND-OR, NAND-NAND dan MUX (multiplekser)[1]. Rangkaian AND-OR membutuhkan IC 7408 (AND-2) / 7411 (AND-3) dan 7432 (OR-2). Rangkaian NAND-NAND membutuhkan IC 7400 (NAND-2). Rangkaian MUX membutuhkan IC 74147 (MUX-2) atau 71153 (MUX-4) [A]  [A] Lihat [1] Bab 7 dan Bab 10.1 untuk lebih rinci.

Sasaran desain adalah menghasilkan rangkaian yang efisien, salah satunya adalah jumlah komponen (IC) yang dibutuhkan minimal. Seringkali juga diinginkan rangkaian yang optimal dengan memperhitungkan beberapa konstrain, misalnya harga dan ketersediaan komponen, kecepatan data (timing), luas papan rangkaian dan sumber daya yang dibutuhkan (power). Beberapa solusi rangkaian untuk fungsi tersebut bisa diperoleh tergantung sasaran dan/atau konstrain yang dikehendaki.

2 Metode Perancangan

Rangkaian yang akan dibuat adalah rangkaian AND-OR, NAND-NAND dan MUX. Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND diperoleh dengan menyederhanakan persamaan fungsi menggunakan peta Karnaugh (K-map) [B]  [B] Penyederhanaan fungsi bisa dilakukan dengan K-map, aljabar dan metode tabular Quine McCluskey untuk mendapatkan fungsi SOP yang paling sederhana. Rangkaian MUX diperoleh dengan menggunakan teorema ekspansi Shannon [C]  [C] Disebut juga teorema dekomposisi Shannon. Variabel masukan yang digunakan sebagai selektor MUX untuk menghasilkan rangkaian yang paling sederhana.

Ketiga rangkaian dianalisis (diuji) fungsionalnya dengan memberikan semua kombinasi masukan (pengujian exhaustive). Rangkaian harus memberikan keluaran sesuai dengan fungsi yang diharapkan. Biaya (cost) rangkaian juga dihitung, meliputi jumlah gerbang dan IC yang digunakan.

3 Hasil dan Diskusi

K-map fungsi rangkaian

Figure 1 K-map untuk fungsi f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7)

Penyederhanaan fungsi f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7) dilakukan dengan menggunakan K-map, seperti ditunjukkan Gambar 1↑. Pengelompokkan minterm bernilai 1 menghasilkan persamaan SOP minimum yang terdiri dari 2 buah grup minterm, yaitu x1x2 dan x2x3. Persamaan fungsi minimum dinyatakan dalam Persamaan 2↓.

(2)

f(x1, x2, x3)


=


m(1, 5, 6, 7)



=


x1x2 + x2x3

Persamaan 2↑ dapat dinyatakan dengan rangkaian AND-OR, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2↓. Rangkaian tersebut membutuhkan 2 buah gerbang AND-2, 1 buah gerbang OR-2 dan 1 buah gerbang NOT.

figure rangkaian-logika-f1567.png
Figure 2 Rangkaian logika f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7)

Rangkaian di Gambar 2↑ dapat diimplementasikan dengan menggunakan IC 7404 (NOT), 7408 (AND-2) dan 7432 (OR-2), seperti ditunjukkan dalam Gambar 3↓. IC 7404 mempunyai 6 gerbang NOT dalam satu chip, 7408 mempunyai 4 gerbang AND-2 dan 7432 mempunyai 4 gerbang OR-2.

figure 7400_implementasi.jpg
Figure 3 Rangkaian TTL untuk f(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3

Implementasi rangkaian di Gambar 3↑ secara fungsional sesuai dengan spesifikasi kebutuhan, namun tidak efisien. Rangkaian tersebut membutuhkan 3 buah IC, yaitu 7404, 7408 dan 7432. Dari 6 gerbang NOT yang tersedia di 7404 hanya 1 gerbang yang digunakan atau efisiensinya 1/6 (17%). Dari 4 gerbang AND-2 yang tersedia di 7408 hanya 2 gerbang yang digunakan atau utilitasnya 2/4 (50%) [D]  [D] Utilitas ini menunjukkan efisiensi dari implementasi rangkaian. Dari 4 gerbang OR-2 yang tersedia di 7432 hanya 1 gerbang yang digunakan (25%).

Rangkaian NAND-NAND juga dapat digunakan untuk mengimplementasikan fungsi tersebut. Rangkaian NAND-NAND tersebut diperoleh dengan menguraikan Persamaan 2↑ dengan menggunakan gerbang NAND, yaitu seperti ditunjukkan dalam Persamaan 3↓.

 

function-3

Persamaan 3↑ dinyatakan dalam rangkaian logika NAND-NAND seperti diperlihatkan dalam Gambar 4↓. Rangkaian tersebut memerlukan 3 gerbang NAND-2 serta 1 gerbang NOT untuk x2. IC yang digunakan adalah 7400 (quad NAND-2) dan 7404 (hex NOT). Utilitas rangkaiannya adalah IC 7400 sebesar 3/4 (75%) dan IC 7404 sebesar 1/6 (17%).

figure rangkaian-f1567-nand.png
Figure 4 Rangkaian logika f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7) dengan NAND dan NOT

Gerbang NOT untuk x2 dapat diimplementasikan dengan menggunakan NAND-2, yaitu x2 = x2.x2. Persamaan 3↑ dapat dinyatakan dalam Persamaan 4↓. Persamaan 4↓ dinyatakan dalam rangkaian NAND-NAND seperti ditunjukkan dalam Gambar 5↓.

function-4

figure rangkaian-f1567-NAND-2.png
Figure 5 Rangkaian logika f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7) dengan NAND

Rangkaian NAND-NAND di Gambar 5↑ membutuhkan 4 buah gerbang NAND-2 dan dapat diimplementasikan dengan IC 7400 (quad NAND-2), dengan utilitas 100%. Rangkaian TTL yang paling optimal diperlihatkan dalam Gambar 6↓. Rangkaian tersebut secara fungsional memenuhi spesifikasi dan paling efisien, yaitu hanya menggunakan 1 IC sehingga harga dan luas papan rangkaian bisa minimal.

figure rangkaian-ttl-f1567-optimal.png
Figure 6 Rangkaian TTL optimal untuk f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7)

Implementasi lain dari f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7) adalah dengan menggunakan MUX. Rangkaian MUX dapat diturunkan dari Persamaan 2↑. Dari persamaan tersebut, rangkaian MUX akan lebih mudah diperoleh dengan membuat masukan x2 sebagai selektor. Dengan teorema ekspansi Shannon, persamaan MUX-nya dinyatakan di Persamaan 5↓.

function-5

Persamaan 5↑ menggunakan MUX-2 dengan masukan x2 sebagai selektor. Masukan MUX saat x2 = 0 adalah x3, sedangkan saat x2 = 1 bernilai x1. Rangkaian dalam Gambar 7↓(a) akan merepresentasikan fungsi tersebut dengan menggunakan hanya 1 buah MUX-2. Implementasi rangkaian menggunakan IC 74157 (Quad Mux-2) ditunjukkan dalam Gambar 7↓(b).

figure rangkaian-mux-f1567.png

(a) rangkaian MUX-2

figure implementasi-mux-f1567.png

(b) implementasi dengan 74157
Figure 7 Rangkaian MUX-2 dan implementasinya

Implementasi rangkaian NAND-2 di Gambar 6↑ dan rangkaian MUX-2 di Gambar 7↑(b) masing-masing menggunakan hanya 1 buah IC sehingga implementasi ini yang paling efisien. Kedua rangkaian mempunyai fungsi yang sama, yaitu f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7). Namun, rangkaian MUX-2 mempunyai keunggulan daripada rangkaian NAND-2, yaitu terkait waktu tunda keluaran [E]  [E] Waktu tunda ini dapat didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan dari data masuk sampai keluaran valid.

Rangkaian MUX-2 hanya tersusun atas 1 level, sedangkan NAND-2 tersusun atas 3 level. Rangkaian MUX-2 hanya butuh 1 delay gerbang dan rangkaian NAND-2 membutuhkan 3 delay gerbang. Jika diasumsikan delay gerbang MUX-2 dan NAND-2 sama [F]  [F] MUX-2 tersusun atas 1 gerbang NOT dan 2 gerbang transmisi, sehingga delay gerbang sedikit lebih besar daripada NAND-2, maka waktu tunda keluaran rangkaian NAND-2 lebih lama 3 kali daripada MUX-2 atau dengan kata lain MUX-2 lebih cepat 3 kali daripada NAND-2.

Gerbang MUX-2 tersusun atas 1 gerbang NOT dan 2 gerbang transmisi atau total 6 buah transistor CMOS. Gerbang NAND-2 tersusun atas 4 buah transistor CMOS. Jumlah transistor CMOS akan menentukan besarnya daya operasi yang dibutuhkan. Gerbang MUX-2 74157 yang digunakan (aktif) hanya 1 buah, sedangkan NAND-2 yang aktif 4 buah. Daya operasi yang dipakai sebagian besar digunakan untuk switching (perubahan nilai dari 0 ke 1 atau sebaliknya). Dari hal tersebut, rangkaian MUX-2 akan memakai daya lebih sedikit daripada rangkaian NAND-2 walaupun jumlah transistornya lebih banyak.

4 Penutup

Fungsi f(x1, x2, x3) = m(1, 5, 6, 7) dapat diimplementasikan setidaknya dalam 3 bentuk rangkaian, yaitu menggunakan rangkaian AND-OR, NAND-NAND dan MUX. Implementasi rangkaian AND-OR membutuhkan 3 IC, yaitu 7404 (hexa NOT), 7408 (quad AND-2) dan 7432 (quad OR-2). Rangkaian AND-OR ini tidak efisien karena utilitas IC hanya 17% untuk 7404, 50% untuk 7408 dan 25% untuk 7432. Implementasi rangkaian NAND-NAND membutuhkan 1 IC 7400 (quad NAND-2) dengan utilitas 100%. Implementasi rangkaian MUX juga membutuhkan 1 IC 74157 (quad MUX-2) dengan utilitas 25%. Rangkaian NAND-NAND dan MUX adalah implementasi rangkaian yang paling efisien. Namun, rangkaian MUX mempunyai keunggulan dibandingkan NAND-NAND, yaitu kecepatannya lebih besar dan pemakaian daya operasionalnya lebih kecil.

Parameter waktu tunda keluaran ketiga rangkaian perlu untuk diukur lebih presisi dengan melihat karakteristik diagram pewaktuan dari rangkaian. Profil daya operasional ketiga rangkaian juga perlu diukur, baik dengan simulasi maupun pengujian rangkaian.

Referensi

[1] Eko Didik Widianto. Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi. Edisi Pertama. Yogyakarta: Graha Ilmu. 2014.

Download Artikel.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *


*

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.